Типы устойчивости особых точек

Важной задачей является определение устойчивости особых точек. Производится по виду правых частей исходной системы уравнений. Об устойчивости стационарного состояния системы судят по поведению системы в случае небольшого отклонения от стационарной точки.

e=x-xст

h=у-уст

Для определения характера устойчивости необходимо одновременно учитывать поведение во времени отклонений e и h. Существуют специальные уравнений, описывающие e и h.

e(t)=C11el1t+C12el2t

h(t)=C21el1t+ C22el2t

Особый смысл имеют l1 и l2 – это экспоненциальные показатели

l1,2 =

a,b,c,d – значения частных производных в точке (хстац;устац). От вида l1,2 зависит поведение отклонений e и h соответствующих поведению х и у в особой точке (окресностях). l1,2 это либо действительные числа, либо комплексно-сопряженные (если под знаком корня дробь).

1. l1 и l2 < 0 то есть они являются действительными отрицательными числами, значение e и h будут со временем снижаться, то есть отклонение системы от особых точек со временем будет . В этом случае стационарное состояние является устойчивым, а особая точка называется устойчивый узел, такой точке соотвествует особый тип фазового портрета.

Рисунок. Система будет возвращаться по какой-то траектории в стационарное состояние.

2. l1 и l2 > 0, действительные положительные числа e и h будут увеличиваться со временем, следовательно первоначальное состояние было неустойчиво и система все дальше будет отклоняться от состояния равновесия.

Неустойчивый узел. Фазовый портрет такой же, но стрелки на периферию.

3. l1 и l2 действительные числа разных знаков.

Рисунок. Тогда на фазовом портрете системы будет существовать особая точка типа "седла". Сопаратиссы.

Из любого начального положения на фазовой плоскости кроме особой точки сепаратисс система будет удаляться из стационарного состояния. Если l1 и l2 комплексно-сопряженные числа, то изменения во времени e и h носят колебательный характер. Частные случаи:

1. Действительные l1 и l2 < 0,

Рисунок. Re<0, то колебания ситемы носят затухающий характер. Особая точка на фазовом портрете будет называться устойчивый фокус.

2. Действит l1 и l2 > 0,

Рисунок. Cтрелки на фазовом портрете направлены наружу, неустойчивый фокус

3. Re l1 и l2 = 0,

Рисунок. В этом случае l1 и l2 превращаеются в мнимые числа, фазовые траектории будут представлять собой эллипсы, не проходящие через начало координат. В начале координат находится неустойчивая точка (центр). Необольшие возмущения в системе переводят ее с одной траектории на другую, то есть изменяется амплитуда колебания.

Первые пять типов состояния равновесия являются грубыми, так как их характер не изменяется существенно при небольших изменениях правых частей исходного уравнения, а так же из проиводных первого порядка. Эти типы устойчивости характерны для био систем, так как они должны определенным запасом грубости. Такой запас позволяет им сохранить основные динамические свойства при умеренных внешних воздействиях.